Contoh Soal Trigonometri

contoh contoh soal trigonometri

1. Nilai x di antara 0° dan 360° yang memenuhi persamaan √3 cos x + sin x = √2 adalah...

Jawaban

√3 cos x + sin x = √2

1/2√3 cos x + 1/2 sin x = 1/2 √2

cos 30° cos x + sin 30° sin x = cos 45°

cos (x-30°) = cos 45', maka

(x-30°) = ± 45° + k . 360°

x1 -30° = 45° + k . 360° atau

x1 = 75° + k . 360°

supaya x1 terletak di antara 0° dan 360° maka

x1 = 75° + 0 . 360° = 75°

x2 - 30° = -45° + k . 360°

atau x2 = 15° + k. 360°

ambil k = 1, x2 = -15° + 1 x 360° = 345°

2. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = 1/2 dalam interval 0o < x ≤ 360o.

Jawab :

cos 2x = 1/2

cos 2x = cos 60o

maka

2x = 60o + k.360o

x = 30o + k.180o

Untuk k = 0 maka x = 30o + (0)180o = 30o

Untuk k = 1 maka x = 30o + (1)180o = 210o

dan

2x = –60o + k.360o

x = –30o + k.180o

Untuk k = 1 maka x = –30o + (1)180o = 150o

Untuk k = 2 maka x = –30o + (2)180o = 330o

Jadi H = { 30o, 150o , 210o , 330o }

3. Untuk 0 ≤ x ≤ 180 tentukanlah himpunan penyelesaian cos 5x = 1/2 √2

Jawab :

cos 5x = 1/2 √2

cos 5x = cos 455x = 45 + n.360

x = 9 + n.72untuk n = 0

maka x =9

untuk n = 1

maka x =81

untuk n = 2

maka x =1535x = -45 + n.360

x = -9 + n.72untuk n = 1

maka x = 63

untuk n = 2

maka x = 135Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni{9, 63, 81, 135, 153}

4. Tentukan nilai-nilai x dimana Sin (x) = untuk -270° < x < 720° 

Pembahasan 

Sin (x) = ½ √2

Sin (x) = Sin ( 45° ), berarti disini nilai a = 45°

Untuk mengetahui nilai x, subtitusikan nilai 45° untuk a kedalam rumus 

• x = a + k . 360°

     = 45° + k . 360°

• x = ( 180°- a ) + k . 360°

     = ( 180° - 45° ) + k . 360°

Langkah selanjutnya kita ganti k nya dengan bilangan bulat 

• untuk x = 45° + k . 360°

  · k = -1, x = 45° + (-1) . 360° = (-315°)

  · k = 0, x = 45° + ( 0 ) . 360° = 45°

  · k = 1, x = 45° + ( 1 ) . 360° = 405°

• untuk x = (180° - 45°) + k . 360°

  · k = -1, x = (180° - 45°) + (-1) . 360° = (-225°)

  · k = 0 , x = (180° - 45°) + (0) . 360° = 135°

  · k = 1, x = (180° - 45°) + (1) . 360° = 495°

Karena dalam soal ini intervalnya -270°< x < 720°

Maka cari nilai yang tidak kurang dari -270° dan tidak lebih dari 720°

Berarti nilai nya adalah (-225), 45°, 135°, 405°, 495°) 

Jadi himpunan penyelesaian Sin (x) = ½√2 untuk -270° < x < 720° adalah (-225°, 45°, 135°, 405°, 495°)

5. Tentukan himpunan penyelesaian Tan ( x – 20 ) = √3 untuk interval -120° < x < 360°

Pembahasan 

Tan ( x – 20) = √3

√3 = 60°

→ x – 20° = 60° + k . 180°

→ x = 60° + 20 + k . 180°

→ x = 80° + k . 180°

Langkah selanjutnya kita ganti k nya dengan bilangan bulat

x = 80° + k . 180°

• k = -1, x = 80° + (-1) . 180° = (-100°)

• k = 0, x = 80° + 0 . 180° = 80°

• k = 1, x = 80° + 1 . 180° = 260°

• k = 2, x = 80° + 2 . 180° = 440°

Dari nilai-nilai di atas kita cari yang tidak kurang dari -120° dan tidak lebih dari 360°

Jadi himpunan penyelesaian dari Tan ( x – 20) = √3 untuk interval (-120°) < x < 360° adalah (-100°, 80°, 260°).